Задач тут совсем немного, и они легкие. Порешать, впрочем, вполне можно.
И, да, не стоит воспринимать написанное ниже серьезно.
РАЗДЕЛ ПЕРВЫЙ. Классическое определение вероятности. Формулы сложения и умножения вероятностей. Условные вероятности. Биномиальная схема испытаний.
Задача 1. Ученик пятого класса Вася играет только в All Pick и только на Снайпере, Рики, Траксе и Хускаре. Какова вероятность того, что после возвращения из школы первую игру он сыграет на Траксе, если Вася возьмет героя раньше всех?
Задача 2. Ученик седьмого класса Леша попросил у отца 319 рублей и купил на них компендиум. Если Леша играет только в Single Draft, какова вероятность того, что своего первого героя в All-Hero Challenge (пусть это будет Meepo) он сможет взять в первой же игре?
Задача 3. Ученик девятого класса Женя играет на Бэйне. Мимо него пробегает герой противника, у которого одна единица здоровья. Женя в панике нажимает на какой-то из своих скиллов, после чего кликает мышкой на вражеского героя. Какова вероятность того, что противник после этого отправится в таверну, если ни один скилл у Жени на тот момент не был в кулдауне?
Задача 4. Ученик четвертого класса Сережа играет All Random. Какова вероятность того, что Сереже попадется его любимый герой Slark, если он может один раз нажать Repick?
Задача 5. Ученик десятого класса Саша играет на Phantom Assassin. Какова вероятность того, что после получения ультимейта среди первых двух ударов, что он сделает, будет один крит (вероятность крита — 0.15)?
Задача 6. Ученик девятого класса Костя играет на Lion'е. Вероятность того, что каким-то из своих скиллов он состилит фраг у своей команды, равна 0.8. Найти вероятность того, что из пяти фрагов, что его команда сделает за игру, он состилит не меньше четырех.
Задача 7. Ученик шестого класса Миша играет на Pudge. Вероятность того, что Миша попадет хуком по движущейся цели, равна 0.1. Найти вероятность того, что из пяти бросков по движущейся цели Миша попадет двумя или больше.
Задача 8. Какова вероятность того, что, прокачав ульт, Phantom Assassin выдаст шесть критов подряд (вероятность крита — 0.15)?
РАЗДЕЛ ВТОРОЙ. Факториалы. Число сочетаний. Число размещений.
Задача 9. Сколько возможных вариантов пула героев существует в Random Draft?
Задача 10. Сборная восьмого «А» играет Captains mode. Петя, капитан, взял команде Пуджа, Баратрума, Баланара, Фуриона и Бладсикера. Сколькими способами можно распределить героев среди игроков, если игроки будут брать героев по очереди?
Задача 11. Ученик восьмого класса Дима попросил у матери 350 рублей и купил на них компендиум и мороженое. Если Дима играет только в Random Draft, какова вероятность того, что своего первого героя в All-Hero Challenge (пусть это будет Chen) он сможет взять в первой же игре, если брать он будет первым (число героев равно 108)?
Задача 12. Сборная девятого «Б» играет Captains mode. Валера, капитан команды, взял Террорблэйда, Фантомку, Антимага, Войда и Легионку. Сколькими способами можно расставить линии, если
а) Ребята играют 3/1/1?
б) Ребята играют 2/2/1?
в) Если Легионка точно идет в мид, а игра идет 2/2/1?
г) Если АМ и Войд будут стоять на одной линии, а игра идет 2/2/1?
(Расстановки типа «трипла на легкой» и «трипла на сложной» считать одной и той же, между верхней и нижней линиями разницы условно нет, мидер всегда стоит в соло)
РАЗДЕЛ ТРЕТИЙ. Формула полной вероятности. Формула Байеса.
Задача 13. Ученик седьмого класса Петя играет на минере. Вероятность того, что он на первом уровне пойдет минировать руну, равна 0.4, магазин — 0.5, Рошана — 0.1. Вероятности того, что он таким образом сделает фраг, равны соответственно 0.2, 0.3 и 0.5. Найти вероятность фрага.
Задача 14. Ученик третьего класса Степа играет на Riki. У него есть три варианта покупки следующего артефакта — Dagon, Shadow Blade и Ethereal Blade, вероятности покупки каждого из них соответственно равны 0.3, 0.5 и 0.2. Вероятности того, что Степа после покупки каждого из артефактов увидит в чате нелицеприятный факт о себе, равны соответственно 0.8, 0.9 и 0.7. Найти вероятность этого события.
Задача 15. Ученик шестого класса Витя играет Single Draft. Дота предлагает ему на выбор трех героев: Abaddon, Vengeful Spirit и Crystal Maiden. Вероятности выбора каждого из них равны соответственно 0.25, 0.35 и 0.4. Вероятности того, что Витя будет покупать варды при игре за каждого из этих героев, равны соответственно 0.03, 0.05 и 0.1. Найти вероятность того, что Витя будет покупать варды.
Задача 16. Вероятность того, что случайно взятый игрок в доту будет бить ренджовый барак, равна 0.75. Известно, что игроки, которые смотрят стримы Каспера, в первую очередь бьют ренджовый барак с вероятностью 0.9, а те, что не смотрят — с вероятностью 0.3. Найти вероятность того, что случайно взятый игрок смотрит стримы Каспера.
Задача 17. Игрок команды Cloud 9 Джеки играет на Drow Ranger. У него есть три варианта покупки следующего артефакта: Eye of Skadi, Butterfly и Manta Style, которые он выберет с вероятностью соответственно 0.8, 0.15 и 0.05. Вероятность победы в каждом из описываемых случаев соответственно равна 0.1, 0.8 и 0.7.
а) Найти полную вероятность победы.
б) Найти вероятность того, что Джеки купил Eye of Skadi, если известно, что он проиграл.
РЕЗДЕЛ ЧЕТВЕРТЫЙ. Основные дискретные распределения. Математическое ожидание. Дисперсия.
Задача 18. Вероятность выпадания шмотки класса Mythical или более редкого после окончания игры равна 0.001. Найти вероятность того, что после тысячи игр выпадет хотя бы одна мифическая или реже шмотка, если
а) считать описанную ситуацию биномиальным распределением;
б) считать описанную ситуацию распределением Пуассона.
Задача 19. Вероятность того, что после окончания игры игроку выпадет предмет класса Rare, равна 0.01. Найдите математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение номера игры, после которой выпадет первая рарка, и вероятность того, что первая рарка выпадет после сотой игры.
Задача 20. В Доте сто восемь героев, среди которых, если верить Valve, 30 саппортов. Найти математическое ожидание числа саппортов в команде из пяти человек, а также вероятность того, что в команде из пяти человек не окажется ни одного саппорта.
РАЗДЕЛ ПЯТЫЙ. Задачи повышенной сложности.
Задача 21. Ученик шестого класса Миша играет на Pudge. Вероятность того, что Миша попадет хуком по движущейся цели, равна 0.1. Если Миша попадает хуком, то слышит нецензурную лексику в войсчате с вероятностью 0.1, если не попадает, то с вероятностью 0.7. Найти вероятность того, что после первых пяти бросков по движущейся цели Миша узнает правду о своем отце.
Задача 22. Вы играете против Phantom Assassin. У вас 500 здоровья и 0 брони, у Фантомки 100 урона с руки и первый уровень прокачки ульта (множитель 2.5, шанс 0.15). Фантомка наносит вам некоторое число ударов, не получая ни одного в ответ. Какой по счету удар с наибольшей вероятностью станет для вас фатальным (регенерацию здоровья нашего героя считать равной нулю)?
Задача 23. Вы играете против Juggernaut. У вас 600 здоровья и 0 брони, у Джаггера 100 урона с руки и четвертый уровень прокачки пассивки (множитель 2.0, шанс 0.35). Юрнеро наносит вам некоторое число ударов, не получая ни одного в ответ. Какой по счету удар с наибольшей вероятностью станет для вас фатальным (регенерацию здоровья нашего героя считать равной нулю)?
Задача 24. Ученик девятого класса Коля попросил у родителей 400 рублей и купил на них компендиум и большую пачку чипсов. Если Коля играет только в Random Draft, какова вероятность того, что своего первого героя в All-Hero Challenge (пусть это будет Io) он сможет взять в первой же игре, если брать он будет десятым, а первые девять человек возьмут своих героев случайным образом (число героев равно 108)?
Задача 25. Какова вероятность того, что Phantom Assassin с прокачанным ультом даст по Brewmaster с Drunken Brawler 4 уровня три крита подряд (вероятность крита — 0,15), и все они достигнут цели и нанесут урон (вероятность уворота — 0.25)?
ОТВЕТЫ.
0,25
1/34
3/4
1/54
0,255
0,73728
0,08146
729/64000000
2935422176870551905810
120
20/108
а) 20; б) 30; в) 12; г) 3.
0,28
0,83
0,065
0,75
а) 0,235; б) приближенно 0,94
а) приближенно 0,3677; б) 1/е
100; приближенно 99,5; приближенно 0,0037
приближенно 1,39; приближенно 0,1965
приближенно 0,994
пятый
пятый
12/108
приближенно 0,0014
Если вы обнаружили ошибку, пожалуйста, напишите о ней комментарий.